nh_xperia's blog

(偏差)平方和 $S$

（偏差）平方和＝（各データの値－平均値） $^2$ の和

$S=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2=\sum{(x_i-\bar{x})^2$ ・・・(1)

(1)式を展開(変形？)してみると、
$S=\sum{(x_i-\bar{x})^2$
$\hspace{10}=\sum{x_i^2}-2\sum{x_i}\cdot\bar{x}+\sum{\bar{x}^2}$
$\hspace{10}=\sum{x_i^2}-2\bar{x}\sum{x_i}+\bar{x}^2\sum{1}$
$\hspace{10}=\sum{x_i^2}-2\frac{\sum{x_i}}{n} \cdot\sum{x_i}+n(\frac{\sum{x_i}}{n})^2$
$\hspace{10}=\sum{x_i^2}-\frac{(\sum{x_i})^2}{n}$ ・・・(2)
(2)式は、
（偏差）平方和＝（各データの値） $^2$ の和－{(各データの和) $^2\div$ データの数}

偏差

偏差: $(x_i-\bar{x})$ 　各々のデータ $x_i$ と平均値 $\bar{x}$ との差
※偏差の総和は $0$ になる。
$\sum{(x_i-\bar{x})=\sum{x_i}-n\bar{x}=\sum{x_i}-n\frac{\sum{x_i}}{n}=\sum{x_i}-\sum{x_i}=\large{0}$

サンプル（(偏差)平方和Sを求める）

５個の特性値データは、次のとおり
      
である。
(偏差)平方和は(2)式より

※上記で利用した数式source

[tex:S=(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2=\sum{(x_i-\bar{x})^2]・・・(1)

(1)の変形中
[tex:S=\sum{(x_i-\bar{x})^2]
[tex:\hspace{10}=\sum{x_i^2}-2\sum{x_i}\cdot\bar{x}+\sum{\bar{x}^2}]
[tex:\hspace{10}=\sum{x_i^2}-2\bar{x}\sum{x_i}+\bar{x}^2\sum{1}]
[tex:\hspace{10}=\sum{x_i^2}-2\frac{\sum{x_i}}{n} \cdot\sum{x_i}+n(\frac{\sum{x_i}}{n})^2]
[tex:\hspace{10}=\sum{x_i^2}-\frac{(\sum{x_i})^2}{n}]・・・(2)

サンプル
      [tex:S=\sum{x_i^2}-\frac{(\sum{x_i})^2}{n}]
      [tex:\hspace{10}=(16^2+14^2+18^2+15^2+22^2)-\frac{(16+14+18+15+22)^2}{5}]
      [tex:\hspace{10}=1485-\frac{(85)^2}{5}=\large{40}]